Le parti centriste Kahol Lavan ("Bleu-blanc") de Benny Gantz a obtenu 33 sièges sur les 120 du Parlement lors des législatives de mardi, contre 31 pour le Likoud (droite) de M. Netanyahu, Premier ministre sortant et le plus pérenne de l'histoire d'Israël.
En comptant leurs alliés naturels ou probables, Benny Gantz pourrait obtenir jusqu'à 57 élus, et M. Netanyahu 55, les deux rivaux étant incapables d'atteindre le nombre de 61 députés, seuil de la majorité absolue au Parlement.
Le président Rivlin, dont la fonction est quasi symbolique, jouera donc un rôle politique clé au cours des prochains jours en désignant celui qui sera chargé de former le gouvernement.
En Israël, la constitution du gouvernement n'incombe pas de facto au chef du parti ayant récolté le plus de sièges mais fait l'objet de consultations entre le président et les partis, qui recommandent des candidats.
Le président n'est en outre pas tenu de choisir la personnalité politique qui aura le plus de recommandations et peut se fier à son instinct. Si Benjamin Netanyahu et Benny Gantz sont les favoris, le président pourrait aussi opter pour une troisième voie, encore inconnue.
Les consultations débutent à 17H00 (14H00 GMT) dans les bureaux du président à Jérusalem et doivent se poursuivre lundi, pour une décision attendue plus tard cette semaine.
La voix arabe
Les partis défileront les uns après les autres dans les bureaux de M. Rivlin, dans un ordre suivant leur performance électorale.
Les partenaires de Benny Gantz seront ainsi les premiers à rencontrer le président dimanche, suivies par le Likoud de M. Netanyahu, de la "Liste unie" des partis arabes israéliens d'Ayman Odeh, du parti ultra-orthodoxe Shass et de la formation nationaliste laïque Israël Beitenou d'Avigdor Lieberman.
Suivront lundi en matinée un autre parti ultra-orthodoxe, "Judaïsme unifié de la Torah", et deux formations de centre-gauche.
Deux hommes pourraient jouer un rôle clé: Ayman Odeh et Avigdor Lieberman.
La liste arabe de M. Odeh, propulsée troisième force politique d'Israël à l'issue des législatives, a déjà clairement indiqué qu'elle n'allait pas soutenir Benjamin Netanyahu, sans dire toutefois si elle allait soutenir M. Gantz.
"Aucune décision n'a été prise", a déclaré samedi un cadre de la "Liste unie", Ahmad Tibi, précisant que les quatre dirigeants des partis arabes allaient se rencontrer dimanche afin de "décider qui recommander".
Mardi, le chef de la liste arabe avait fait une déclaration intéressante sur Benny Gantz, qui avait déjà terminé ex-aequo avec M. Netanyahu lors des législatives d'avril.
"Je peux maintenant vous le dire, après l'élection (d'avril) je l'ai contacté et je lui ai dit que sa campagne avait été raciste, notamment lorsqu'il disait qu'il n'allait pas s'asseoir avec les Arabes", a dit M. Odeh. "Je lui ai demandé de changer d'orientation. Et c'est exactement ce qu'il a fait" dans la campagne pour le second scrutin.
L'élection d'avril n'avait pas débouché sur la formation d'un gouvernement, conduisant à l'organisation d'un nouveau scrutin mardi.
Le facteur Lieberman
Autre personnage clé: Avigdor Lieberman. Cet ancien ministre de la Défense, ex-allié de M. Netanyahu, a fait campagne contre les partis juifs ultra-orthodoxes, alliés du Premier ministre, auxquels il reproche de vouloir transformer Israël en théocratie juive.
M. Lieberman, également hostile aux partis arabes, souhaite former un gouvernement d'union avec le parti "Bleu-blanc" de M. Gantz et le Likoud de M. Netanyahu, mais a refusé pour l'instant de soutenir l'un ou l'autre pour diriger le gouvernement.
Pour M. Netanyahu, l'issue de ces consultations engage sa survie politique. Après avoir joué son va-tout aux élections de mardi, il risque de perdre sa mise pour une rare fois dans sa longue carrière politique.
Et ces tractations sont d'autant plus cruciales qu'il doit être auditionné par la justice début octobre pour des affaires de "corruption", "d'abus de confiance" et de "malversations".
Le "roi Bibi" cherche à obtenir une immunité du Parlement au cas où il serait inculpé, mais cette immunité pourrait être plus difficile à obtenir des parlementaires s'il ne dirige pas le prochain gouvernement.
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