Le secrétaire d'Etat devait ensuite s'entretenir vendredi avec son homologue Mevlüt Cavusoglu, avant une conférence de presse des deux ministres.
Dernière d'une tournée qui l'a d'abord mené au Moyen-Orient, l'étape turque s'annonce aussi comme la plus tendue.
"Nos relations sont à un moment très critique. Soit nous améliorons nos relations, soit elles vont s'effondrer complètement", a mis en garde cette semaine Mevlüt Cavusoglu.
"La discussion s'annonce difficile", reconnaissait-on à Washington, où l'on souligne que la "rhétorique turque" est "très enflammée", s'agissant des nombreux contentieux qui empoisonnent les relations entre les deux pays, pourtant alliés au sein de l'Otan.
Symbole de cette mauvaise passe: la capitale turque a décidé de rebaptiser une avenue longeant l'ambassade des Etats-Unis "Rameau d'olivier", du nom de l'opération militaire turque lancée le 20 janvier dans le nord de la Syrie.
Or, c'est cette offensive contre l'enclave d'Afrine et les Unités de protection du peuple (YPG) qui envenime plus que jamais la situation. Ankara considère cette milice kurde comme "terroriste", mais il s'agit aussi d'un allié-clé des Etats-Unis dans la lutte contre le groupe jihadiste Etat islamique (EI).
Après les appels à la "retenue", Rex Tillerson a protesté mardi contre une opération qui "détourne" les forces antijihadistes de leur combat prioritaire, estimant que des éléments kurdes ont déjà quitté l'est syrien pour prêter main forte aux YPG à Afrine.
Minbej après Afrine?
Même message du ministre américain de la Défense Jim Mattis à son homologue turc Nurettin Canikli, lors d'une rencontre à Bruxelles : il faut se reconcentrer "sur la campagne pour vaincre l'EI".
"La situation est assez compliquée comme ça, n'aggravons pas les choses", soupire un membre de la délégation de Rex Tillerson.
"Nous leur avons demandé la fin de tout type de soutien aux YPG, et le retrait de cette structure des FDS", a pour sa part déclaré M. Canikli, en se référant à une coalition arabo-kurde dominée par les YPG.
"M. Mattis a indiqué qu'ils allaient fournir un soutien plus actif, plus concret et net", notamment en partageant des renseignement dans la lutte menée contre le PKK en Irak.
La situation pourrait bien s'aggraver si la Turquie met à exécution sa menace d'avancer vers Minbej, à une centaine de km à l'est d'Afrine, également contrôlée par les YPG mais avec des militaires américains à leur côté.
"Nous allons à Minbej, et s'ils sont là, tant pis pour eux", lâche un haut responsable turc à l'AFP. "Nous n'avons pas besoin de leurs recommandations, mais de mesures concrètes sur le terrain."
Sur ce sujet, les échanges risquaient de virer au dialogue de sourds.
Les Américains entendaient discuter des "mesures qui peuvent être prises" face aux "inquiétudes sécuritaires légitimes" des Turcs. Mais Ankara exige que Washington rompe totalement avec les YPG et reprenne les armes fournies à cette milice.
"Nous n'avons jamais donné d'armes lourdes aux YPG, donc il n'y en a aucune à reprendre", a rétorqué jeudi M. Tillerson à Beyrouth, juste avant d'arriver à Ankara. Il avait auparavant prévenu que les Etats-Unis allaient "continuer à former des forces de sécurité locales", tout en veillant à ce qu'elles "ne représentent pas une menace" pour les "pays voisins".
"Le simple déplacement du secrétaire d'Etat", après d'autres contacts à haut niveau, "démontre que nous considérons qu'il s'agit malgré tout d'une relation qui nous permet de se parler ouvertement", nuance le membre de la délégation américaine. Et Jim Mattis a estimé à Bruxelles qu'un "terrain d'entente" était possible.
La crise syrienne vient s'ajouter à une longue liste de différends, notamment depuis le putsch raté de 2016 en Turquie. Washington n'a pas donné suite aux demandes d'extradition du prédicateur Fethullah Gülen, désigné par Ankara comme le cerveau de la tentative de coup d'Etat et installé aux Etats-Unis.
Et l'arrestation d'au moins deux employés turcs des missions diplomatiques américaines en Turquie a récemment déclenché une crise des visas, dont le gel réciproque n'a pris fin qu'en décembre.
Les Etats-Unis dénoncent aussi l'incarcération de plusieurs Américains, dont Serkan Gölge, un scientifique de la Nasa condamné la semaine dernière à sept ans et demi de prison pour appartenance aux réseaux Gülen.
"L'antiaméricanisme marche bien en Turquie, c'est l'un des seuls sujets qui réunit les religieux conservateurs et les nationalistes laïques", constate Max Hoffman, du Center for American Progress. Pour lui, le président Erdogan "a choisi d'attiser la colère de l'opinion pour marquer des points politiques".
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