La rencontre, alors que les négociations patinent depuis des mois, est prévue en marge d'un sommet de l'Union européenne avec des pays de l'ex-URSS.
Il y a une semaine, à Göteborg en Suède, M. Tusk avait pressé la dirigeante britannique d'abattre ses cartes d'ici début décembre si elle voulait obtenir avant Noël un feu vert pour l'ouverture de tractations commerciales post-Brexit.
Le rendez-vous de vendredi --dont l'horaire n'était pas encore connu jeudi soir-- sera suivi d'un dîner le 4 décembre à Bruxelles entre Mme May et le président de la Commission européenne, Jean-Claude Juncker.
M. Juncker a confié jeudi voir des signaux positifs dans les négociations, mais "la situation n'est pas telle que je puisse dire maintenant que nous avons fait des progrès suffisants", a-t-il ajouté.
Les 27 autres Etats de l'UE exigent toujours des engagements clairs pour boucler la première phase des tractations, focalisée sur l'organisation du retrait britannique fin mars 2019, et notamment sur la facture que le Royaume-Uni devra régler pour solder ses engagements financiers pris au sein de l'Union.
'Préparer le terrain'
Selon les médias britanniques, Mme May, dont la fragilité politique inquiète Bruxelles, a obtenu cette semaine un accord au sein de son gouvernement pour proposer de payer une quarantaine de milliards d'euros, soit le double de ce qui était envisagé jusqu'ici.
Les Britanniques "sont en train d'évoluer, ils sont en train de préparer le terrain dans leur opinion publique", a estimé une source européenne proche des négociations, rappelant qu'à ce stade Bruxelles ne demandait pas d'engagement chiffré, mais un accord clair sur une méthode de calcul.
Côté européen, l'évaluation du solde de tout compte est plus proche de 60 milliards d'euros, même si la Commission européenne, qui négocie au nom des 27, n'a jamais donné de chiffre officiel.
Outre la facture, l'UE veut également des "progrès suffisants" sur la question des droits des Européens vivant au Royaume-Uni après le Brexit, et sur les conséquences du divorce sur la frontière entre l'Irlande et la province britannique d'Irlande du Nord.
Un accord d'étape sur les trois sujets est indispensable aux yeux des pays qui resteront dans l'Union pour accepter d'élargir les négociations à la relation future avec Londres, notamment commerciale.
C'est lors d'un sommet prévu les 14-15 décembre à Bruxelles que leurs dirigeants diront s'ils acceptent d'ouvrir cette seconde phase, que le Royaume-Uni s'impatiente de pouvoir lancer.
En cas de refus lors de ce sommet, cette perspective serait alors reportée à "février ou mars", prévient un haut diplomate de l'UE.
Dublin s'inquiète
Si les Britanniques "veulent des +progrès suffisants+ le 15 décembre, ils ne doivent pas venir avec une offre le 13 ou le 14 décembre. Nous leur avons envoyé un message simple: n'attendez pas la dernière minute", a dit un responsable européen.
D'où l'idée que les premiers jours de décembre constituent désormais un moment critique pour faire sortir les négociations de l'impasse actuelle.
Au-delà de la question financière, la tension est montée d'un cran ces dernières semaines sur un autre sujet de la première phase des négociations: le dossier irlandais.
Dublin craint le retour d'une frontière "dure" avec l'Irlande du Nord, avec des postes-frontières, qui fragiliserait l'accord de paix de 1998 ayant mis fin à trente années de guerre civile.
"Nous ne serons pas un gouvernement qui met en danger le processus de paix sur notre île", a prévenu le ministre irlandais des Affaires étrangères, Simon Coveney.
Les Irlandais estiment que s'ils n'obtiennent pas d'engagements clairs de Londres lors de la première phase des négociations, ils "ne les auront peut-être jamais", selon un responsable européen qui assure que Dublin a le soutien des autres Etats membres.
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