Citant deux sources proches de l'équipe du président élu, la chaîne NBC rapporte également que John Bolton, l'ancien ambassadeur à l'ONU controversé de George W. Bush (2001-2009), pourrait être retenu comme secrétaire d'Etat adjoint.
Mais ces mêmes sources préviennent que rien ne sera arrêté jusqu'à l'annonce officielle de ces nominations, qui devrait probablement intervenir la semaine prochaine.
Le PDG d'Exxon, 64 ans, s'est entretenu avec M. Trump pendant deux heures samedi, croit savoir le New York Times.
M. Tillerson "est beaucoup plus qu'un chef d'entreprise (...) je veux dire par là que c'est un acteur à l'échelle mondiale", a déclaré Donald Trump à Fox News, dans un extrait d'une interview diffusée dans son intégralité dimanche.
"Il connaît un grand nombre de dirigeants mondiaux et il les connaît bien", a fait valoir M. Trump.
Rex Tillerson "a conclu des affaires énormes avec la Russie pour sa société, pas pour lui-même", a-t-il encore noté.
ExxonMobil a des activités pétrolières et gazières dans plus de 50 pays et a conclu une dizaine de partenariats avec Rosneft, la principale compagnie pétrolière russe, détenue par l'Etat, depuis 2011.
En 2013, M. Tillerson a reçu des mains de Vladimir Poutine la décoration russe de l'ordre de l'Amitié.
- L'opposition de Greenpeace -
Les contrats conclus avec la Russie par ExxonMobil pourraient potentiellement générer 500 milliards de dollars, selon des médias américains.
Le choix de M. Tillerson irait dans le sens de la volonté affichée par M. Trump, durant sa campagne, d'améliorer les relations entre les Etats-Unis et la Russie, mises à l'épreuve ces dernières années, notamment au sujet de la guerre en Syrie.
L'actuelle administration de Barack Obama s'inquiète également de l'immixtion de Moscou dans la politique intérieure des Etats-Unis, notamment lors de la dernière présidentielle remportée par M. Trump.
Vendredi soir, le Washington Post s'est fait l'écho d'une note de la CIA qui conclut que la Russie a agi pour faire gagner le milliardaire. Des sources consultées par le quotidien affirment que des personnes liées à Moscou ont fourni au site WikiLeaks des emails piratés sur les comptes de l'ancien directeur de campagne de la candidate démocrate Hillary Clinton, John Podesta, et du parti démocrate, entre autres.
L'équipe de M. Trump a immédiatement rejeté ces conclusions.
Pour y voir plus clair dans ces accusations, Barack Obama a ordonné un rapport sur les piratages informatiques menés pendant la campagne.
Mais la perspective de voir M. Tillerson mener la diplomatie américaine fait des vagues jusque dans le camp républicain.
A l'instar de John McCain qui a exprimé "ses inquiétudes" concernant les liens entre le patron d'ExxonMobil et Vladimir Poutine que le sénateur qualifie "de voyou et d'assassin".
Son entrée en fonctions est soumise à l'approbation du Sénat.
Greenpeace USA se montre également inquiet.
"Dans cette position, (M. Tillerson) fera tout son possible pour étouffer les initiatives et le droit des ministres de la justice des Etats à tenir les groupes pétroliers responsables du changement climatique", a indiqué Cassady Craighill, un porte-parole de l'ONG dans un communiqué.
Donald Trump avait déjà jeté un froid chez les défenseurs de l'environnement et la communauté scientifique américaine en annonçant avoir retenu le climato-sceptique Scott Pruitt, proche de l'industrie des énergies fossiles, pour diriger l'Agence de protection de l'environnement (EPA).
Il a pris la tête d'une campagne pour démanteler les mesures réglementaires de Barack Obama, mises en oeuvre par l'EPA, pour réduire les émissions de gaz à effet de serre des centrales électriques au charbon
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